二阶导的应用及其总结

想要写一些关于数学的文章,先用最近学习的东西练练手。也当是复习资料了。

一、凹凸性

1、直观上看出一条曲线的弯曲方向。∩、∪

如何用数学方法准确定义呢?

设函数ƒ(x)在(a,b)内连续,如果对(a,b)内任意两点x点x1,x2,恒有,那么称函数ƒ(x)在(a,b)内图形是凹的。

同理可定义凸函数。略(ps:有知道什么好用的可以打数学字符符号的输入法或软件的给推荐一个哈)

2、在只知道解析式的条件下,可以通过函数的二阶导的正负来判断凹凸性

若函数ƒ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有二阶导数,那么

(1)若f”(x)>0,则f(x)在(a,b)内是凹的;

(2)若f”(x)<0,则f(x)在(a,b)内是凸的。

我们可以通过函数图像辅助记忆。

图像表示x–f’(x)

证明:

(提示,通过一阶泰勒展开)

How to Use:

根据定义可知。

二、拐点

设函数y=ƒ(x)在U(x。)内连续,若函数y=ƒ(x)在经过点(x。,f(x。))时,曲线由凹弧变成凸弧,或者凸弧变成凹弧,这样的点(x。,f(x。))称为该曲线的拐点

通俗的说法就是,拐点就是凹凸性转变的点。

通过前面关于凹凸性的讨论,容易得到,在拐点x。处必有f”(x。)=0

How to Use:

1、求f”(x)=0 / 寻找二导不存在的点/两侧±

2、第一充分条件:f”(x)=0   ‖  f”(x)不存在x。

x。旁f”(x)变号  ✔                   ‖    ☜

x。旁f”(x)不变号✘                  ‖   ☜

3、第二充分条件:f”(x)=0f”‘(x)≠0

三、极值点

How to Use:

1、求ƒ’(x)/求ƒ’(x)=0和不可导点/看两侧±

2、第一充分条件:ƒ’(x)=0    ‖ ƒ’(x)不存在点

x。旁f’(x)变号  ✔                    ‖    ☜

x。旁f’(x)不变号✘                   ‖   ☜

四、最(大/小)值

How to Use:

1、找可疑点(极值点/边界)

五、渐进线

lim x→(±)∞  ƒ(x)=b      ☞水平渐近线y=b

lim x→(±)x。  ƒ(x)=∞   ☞垂直渐近线x=x。

lim x→(±)∞   [ ƒ(x)-(kx+b)]=0

☞倾斜渐近线y=kx+b

lim x→(±)∞  x[ ƒ(x)/x-k-(b/x)]=0

→lim x→(±)∞ [ƒ(x)/x-k-(b/x)]=0

→k=limx→(±)∞  f(x)/x

→b=limx→(±)∞ [f(x)-kx]

How to Use:

k=limx→(±)∞  f(x)/x

b=limx→(±)∞ [f(x)-kx]

六、作图

  1. 定义域、奇偶性、周期
  2. 求f’(x)、f”(x)=0 /不存在
  3. ↗↘ / 凹凸 / 极值 / 拐点
  4. 渐近线
  5. 找几个特殊点

ps:有几点注意

  • 区间开闭
  • f”‘(x)的新认识
  • 拐点和极值点各自的两个充分条件类比
  • 高阶n导数对于n-1阶导数的影响
  • 利用泰勒展开证明不等式   

初稿2:15:05 PM     12/03/2018

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